Integral von \( \sin^4(x) \)

Herleitung und Auswertung

Berechnen Sie das Integral:

\[ \int \sin^4(x) \, dx \]

Schreiben Sie es um als:

\[ = \int \sin^2(x) \sin^2(x) \, dx \]

Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \), um das Integral umzuformen:

\[ = \dfrac{1}{4} \int (1 - \cos(2x))(1 - \cos(2x)) \, dx = \dfrac{1}{4} \int (1 - \cos(2x))^2 \, dx \]

Entwickeln Sie den Integranden:

\[ = \dfrac{1}{4} \int (1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)) \, dx \]

Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \cos^2 \theta = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(2\theta)) \), die für \( \theta = 2x \) ergibt \( \cos^2(2x) = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4x)) \):

\[ = \dfrac{1}{4} \int \left( 1 - 2\cos(2x) + \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4x)) \right) dx \]

Vereinfachen Sie die Terme im Inneren des Integrals:

\[ = \dfrac{1}{4} \int \left( \dfrac{3}{2} - 2\cos(2x) + \dfrac{1}{2}\cos(4x) \right) dx \]

Verwenden Sie Standardintegrale wie \( \int \cos(kx) \, dx = \dfrac{1}{k}\sin(kx) + c \), um die Terme zu berechnen: